MATEMATICA - Máximos y mínimos
EL PROBLEMA DE HERON
Desde la más remota antigüedad se sabe que la recta es "la línea más corta" entre dos puntos
A y B y esta propiedad de mínimo la distingue tan profundamente de las otras curvas, que
suele adoptarse como definición.
Numerosos problemas de la vida diaria están vinculados con las cuestiones de máximo y
mínimo, y la Física moderna se edifica sobre principios de este tipo (mínimo de energía,
máximo de rendimiento, etc.).
Uno de los descubrimientos físicos más antiguos fue el de Herón de Alejandría: un rayo de
luz AP que parte de A y se refleja en un espejo sigue una dirección tal que el ángulo a es
igual al ß.
¿Por qué? Porque cualquier otra dirección representaría un camino más largo entre A y B y
la luz recorre el camino mínimo. Para demostrarlo consideremos el punto A' simétrico de A
respecto del espejo (es decir, un punto que está sobre la perpendicular al espejo, a igual
distancia de él) y unimos A' con B. Así se determinará el punto P. Los triángulos rectángulos
ASP y A'SP son iguales y por consiguiente es AP = A'P y a = a'. Además a' = ß por ángulos
opuestos por el vértice. El segmento A'B (el menor entre los que unen A' con B) es igual a
A'P + PB, o sea AP + PB.
Consideremos ahora cualquier otro camino rectilíneo, como el AR ± RB = = A'R RB; estos
dos segmentos sumados son mayores que el segmento A'B = AP + PB. Por consiguiente el
camino mínimo es el APB, caracterizado porque forma con el espejo ángulos iguales de
incidencia a y de reflexión ß.
GENERALIZACION: Este problema puede generalizarse a dos, o tres o más espejos, y
siempre el camino mínimo que lleve un punto A a otro B será tal que los ángulos que se
formen con los espejos deben ser sucesivamente iguales. Muchos de los problemas que se
plantean en el billar corresponden al caso de varios espejos sucesivamente perpendiculares.
