MATEMATICA - Medidas circulares y angulares
EXCESO ANGULAR Y AREA DE HUSOS Y TRIANGULOS
Adoptemos como unidad de ángulos el recto y como unidad de área la del triángulo esférico
trirrectángulo.
Dos planos a y ß que pasan por un diámetro de una esfera determinan dos husos esféricos
que sumados completan la superficie esférica. Como hay proporcionalidad entre los ángulos
diedros y las áreas de los husos; y al ángulo recto corresponde el huso recto de área 2,
resulta: El área de un huso es el doble de la medida de su ángulo.
Los tres lados de un triángulo ABC forman tres husos de ángulos A, B, C. Estos tres husos
componen toda la semiesfera, cubriendo además el triángulo ABC y su simétrico A'B'C', que
tiene la misma área.
Por consiguiente:
Area huso A + área huso B + área huso C = 2 área ABC + 4
Y en virtud de la propiedad que acabamos de probar:
2A + 2B + 2C = 2 . área ABC + 4
A + B + C = área ABC + 2
Consecuencia 1: La suma de los ángulos de todo triángulo esférico es mayor que dos rectos.
La diferencia se llama exceso angular:
E
=
A
+
B
+
C — 2
Consecuencia 2: El área de todo triángulo esférico es igual a su exceso angular.
Si se adoptan otras unidades, es claro que aparecerá un factor de proporcionalidad.
