MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica
RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Si el triángulo no es rectángulo se pueden presentar diversos casos:
DEMOSTRACION DE LAS FORMULAS DEL
CUADRO: Hemos dibujado los tres casos
típicos que pueden presentarse. Al trazar la altura h desde el vértice B, el punto P determina
dos segmentos p y q.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo APB de la primera figura se tiene:
a² = h² + q² = h² + (b — p) ²
Y por ser h el cateto del triángulo BPC es:
h² = c² — p²
Luego:
a² = h² + q² = c² — p² + (b — p) ² = c² + b² —2bp
Pero en la primera figura:
p = c . cos a
Luego en ese caso se verifica el teorema del coseno:
a² = b² + c² + 2bc . cos a
Todo subsiste para la segunda figura, y la circunstancia de que en este caso es q = p—b en
lugar de ser q = b—p, no cambia la fórmula, pues esa diferencia aparece en la demostración
elevada al B cuadrado.
Para la tercera figura en cambio es q = b + p y por consiguiente resulta:
a² = h² + q² = c² — p² + (b + p) ² = c² + b² + 2bp
Pero en esa figura vemos que siendo a obtuso, es cos a negativo:
cos a = —cos BAP
Y como:
p = c . cos BAP
Resulta:
p = — c cos a
Con lo cual sigue siendo válida la fórmula del teorema del coseno.
En los otros casos se vuelve a encontrar el teorema de Pitágoras; por eso se llama también
teorema generalizado de Pitágoras. Es evidente que si en lugar de trazar la altura del vértice
B, lo hacemos desde A o C, obtenemos otras dos fórmulas análogas:
b² = a² + c² + 2ac . cos ß
c² = a² + b² + 2ab . cos ?
En el IV caso de la tabla es esta última la fórmula que se aplica y en el caso I son las tres en
las que se ha despejado el valor del coseno.
Además, como el seno de un ángulo es igual al seno del complementario, vale en los tres
casos:
h = c sen a = a sen ?
Y por consiguiente:
a/sen a = c/sen ?
Como lo mismo se puede repetir para otra altura, se obtiene el teorema del seno:
a/sen a = b/sen ß = c/sen ?
Que es el que se emplea en los casos II, III.
