MATEMATICA - Trigonometría rectilínea y esférica
DEFINICIONES TRIGONOMETRIA ESFERICA
Consideraremos triángulos esféricos, cuyos tres lados son arcos de circunferencias máximas.
Los ángulos del triángulo se miden mediante los ángulos planos formados por las tangentes,
y los lados se miden por los ángulos centrales correspondientes a esos lados.
Hay una serie de teoremas análogos a los de trigonometría plana que nos limitaremos a
enunciar con vistas a resolver problemas de astronomía.
Designando con:
p = (a + b + c) / 2
S = (a + ß + ?) / 2
Se tiene las siguientes fórmulas:
1) Teorema del coseno para los lados:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos a
2) Teorema del seno:
sen a/sen a = sen b/sen ß = sen c/sen ?
3) Teorema del coseno para los ángulos:
cos a = —cos ß cos ? + sen ß sen ? cos a
4) Teorema que relaciona tres lados y dos ángulos:
cos a sen b = sen a cos b cos ? + sen c cos a
5) Teorema que relaciona tres ángulos y dos lados:
cos a sen ? = —sen a cos ? cos b + sen ß cos a
A fin de que se tenga una idea de las demostraciones, deduciremos la primera de estas
fórmulas:
Sea ABC un triángulo esférico y por un punto P de OA trazamos el plano p perpendicular a
OA, de modo que la intersección de Ir con el triedro de vértice O es el triángulo PST, siendo
el ángulo P igual a a. En virtud del teorema del coseno de Trigonometría plana, aplicado
sucesivamente a los triángulos OST y PST se tiene:
ST² = OS² + OT² —2 OS OT cos a = PS² + PT² —2 PS PT cos a
Y como por el teorema de Pitágoras es:
OS² = OP² + PS²
OT² = OP² + PT²
Resulta:
cos a = (OP/OS) (OP/OT) + (PS/OS) (PT/OT) cos a
Y las razones que aparecen en esta fórmula son precisamente cos c, cos b, sen c, sen b. Luego:
cos a = cos b cos c + sen b sen c cos a
