MATEMATICA - Ecuaciones y sistemas de primer grado
EL MAS ANTIGUO SISTEMA DE ECUACIONES
Hace casi 4.000 años el sacerdote egipcio A'h-mosé escribió un papiro didáctico de
Aritmética y Geometría que suele llamarse papiro Rhind o Manual de A'h-mosé, en el cual
figuran una serie de cálculos y problemas de gran interés matemático.
Particularmente notable es el problema n° 40, cuyo enunciado original es el siguiente: "100
panes entre 5 personas;
1/7 de los 3 primeros es la parte de los
2 últimos; ¿cuál es la
diferencia?", y que traducido a nuestra nomenclatura actual se enunciaría así:
"Repartir 100 panes entre 5 personas, de modo que las partes sean regularmente crecientes
(o estén en progresión aritmética) de modo tal que la suma de las dos menores sea la
séptima parte de la suma de las tres mayores."
Es notable cómo los egipcios podían resolver con medios tan primitivos como los que
poseían, un problema que actualmente analizaríamos así:
Sea x el primer número e y la diferencia constante entre los números sucesivamente
crecientes. Las condiciones exigidas son dos:
x + (x + y) + (x + 2y) + (x + 3y) + (x + 4y) = 100
x
+
(x + y) = 1/7 . [(x + 2y) + (x + 3y) + (x +4y)]
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x, y muy sencillo de resolver con la técnica
hoy usual. En efecto, las dos ecuaciones se pueden escribir:
5x + 10y = 100
(2x + y) 7 = 3x + 9y
En la primera ecuación se pueden dividir los dos miembros por 5 y queda:
x + 2y = 20 o sea x = 20 —2y
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación en la cual hemos desarrollado el producto
indicado en el primer miembro, tenemos:
14 (20 — 2y) + 7y = 3 (20 — 2y) + 9y
O sea:
280 — 28y + 7y = 60— 6y + 9y
Agrupando todos los números en el primer miembro y los que contienen a y en el segundo,
se tiene:
280— 60 = 28y — 7y — 6y + 9y
220 = 24y
y = 220/24 = 55/6
Como era x = 20 —2y resulta sustituyendo y por 55/6.
x = 5/6
La progresión buscada será:
5/3 ; 65/6 ; 20 ; 175/6 ; 115/3
