MATEMATICA - Topología elemental
TOPOLOGIA DEL PLANO PROYECTIVO Y SUPERFICIES UNILATERAS
Otra falta de correlación entre plano (conjunto de puntos) y radiación (conjunto de rayos por
un vértice) en la Geometría elemental es ésta: el plano tiene dos caras y la radiación una cara.
Si esta página se embadurna de negro y se supone prolongada la hoja de papel y continuado
indefinidamente su embadurnamiento, el plano tendrá una cara negra y otra blanca, pero si
en la radiación o en el haz queremos pintar la mitad de cada rayo y seguimos avanzando,
resultan pintados de negro los rayos que habíamos dejado blancos. Esto se expresa diciendo:
la recta y el plano elemental son biláteros y el haz y la radiación son uniláteros.
En la Geometría proyectiva desaparece esta diferencia: el plano proyectivo
es unilátero,
como la radiación. Comenzaremos por el ángulo completo.
Las letras A y B designan los dos puntos impropios y es preciso imaginar soldado el
segmento impropio AB de la derecha con el de la izquierda, pero no como si se doblara el
papel, pues entonces B caería sobre A; es preciso retorcerlo a la vez que se arquea, a fin de
que coincidan las dos letras B y a su vez las dos A. Debe recortarse un ángulo como el de la
figura y efectuar esta soldadura pintando o rayando como en la figura hacia la derecha y
prosiguiendo por la izquierda quedará rayada por debajo (se ha indicado con rayas
punteadas como si se traslucieran del otro lado).
Hasta aquí nada hay de sorprendente, pues el ángulo parece tener dos caras; una rayada y
otra no.
Pero si ahora consideramos una hipérbola y comenzamos el rayado hacia la derecha como
antes, prosiguiéndolo por la izquierda al avanzar más y más, resulta que estamos
embadurnando debajo de lo ya pintado y así prosiguiendo quedará la tira de papel
totalmente pintada, y lo que creíamos dos caras era una sola, pues de un punto se llega a
cualquier otro sin atravesar el contorno.
Se comprueba que si bien esta tira de plano proyectivo es unilátera, el resto es bilátera.
