ARITMETICA - Introducción a la teoría de los números
DIVISORES COMUNES A VARIOS NUMEROS. MAXIMO COMUN DIVISOR
Para hallar divisores de un solo número basta tomar algunos de sus factores primos y
elevarlos a cualquier exponente que no exceda al exponente que tiene cada factor en el
número. Si tratamos ahora de hallar divisores comunes a varios números, por ejemplo:
2520 = 2³ . 3² . 5 . 7
900 = 2² . 3². 5²
2970=2 . 3³ . 5 . 11
Es decir, divisores de todos ellos simultáneamente, claro es que habrá que formar productos
formados tan sólo por los factores contenidos en todos ellos; es decir, por los factores
comunes, 2, 3, 5 y poniendo a cada factor un exponente que no exceda al que tiene, en
ninguno de los números dados.
Serán divisores comunes de los números dados los siguientes:
2
.
3
=
6
3² . 5 = 45
2
.
3² . 5 = 90
En cambio el número 2 . 3 . 7 = 42 no es divisor de todos porque en él figura el factor primo 7,
que no está en el número 900 ni en el 2970. Análogamente, el 3² . 11 = 99 no es divisor común
por tener el factor 11 no contenido en 2520 ni en 900.
El número 2 . 3³ . 5 = 270 tampoco es divisor común, pues a pesar de que todos sus factores
primos 2, 3, 5, son comunes a los números dados, el exponente de 3³ supera al de 3², con que
este factor primo 3 figura en los números 900 y 2520. Asimismo ningún número conteniendo
potencias de 2 y de 5 de exponentes mayores que 1 sería divisor común.
Entre todos estos divisores comunes que se pueden formar, ¿cuál es el mayor de todos? Será
el que tenga todos los factores primos, comunes, 2, 3, 5, cada uno elevado al menor
exponente con que figura en los números dados, o sea 2 . 3² . 5.
En efecto, no puede formarse un divisor común mayor, pues o tendría los mismos factores
elevados a exponentes mayores, o tendría algún factor primo nuevo, lo cual es imposible.
Este número es, pues, el mayor divisor común de los números dados, llamado usualmente
máximo común divisor, y expresado en abreviatura así: m.c.d. Aunque no precisa más
definición, conviene repetir:
Máximo común divisor de varios números es el mayor de los números que son divisores de
todos ellos.
Cuando un número divide a otros varios, es el m.c.d. de todos ellos y de si mismo.
