ARITMETICA - Introducción a la teoría de los números
LA CRIBA DE ERATOSTENES. TABLAS DE NUMEROS PRIMOS
Puesto que no es posible conocer todos los números primos, estudiemos siquiera el modo de
obtener
ordenadamente todos aquellos que sean
menores que un cierto número, por
ejemplo, 100. El procedimiento consiste
en escribir los números 1 a 100 y suprimir
metódicamente todos los números que no sean primos.
En primer lugar habrá que suprimir los pares, excepto el 2, que es el único par primo; por
tanto, será más breve empezar escribiendo solamente el 2 y los impares, así:
Suprimidos a partir del 3 contando de 3 en 3 los múltiplos 9, 15, 21, 27, ... después los
múltiplos de 5 (25, 35, ...) y los múltiplos de 7 (21, ...), quedan estos números:
Tratemos ahora de suprimir los múltiplos de 11. Claro es que los productos de 11 por
números menores que 11 se han suprimido ya al tachar los múltiplos de dichos números;
por tanto, sólo hay que comenzar por los productos 11, por el mismo 11 o por factores
mayores; y como 11 x 11 es mayor que 100, resulta que en la tabla no queda ningún múltiplo
de 11, ni tampoco de ningún número mayor que 11 por análoga razón. Es decir, todos los
números que quedan después de suprimidos los múltiplos de 2, 3, 5 y 7 son primos.
Esta es la famosa criba de Eratóstenes, así llamada porque la tradición atribuye a este
matemático griego el haber seguido idéntico procedimiento, unos 200 años antes de
Jesucristo, grabando los números en una placa de cobre, y agujereando los lugares de los
números no primos, con lo que, después de efectuadas estas operaciones, la placa quedó
convertida en una criba. Es la primera tabla de números primos que registra la Historia.
Notas:
1) Por definición, todo número no primo admite por lo menos un divisor distinto del mismo
número y de 1. Si este divisor no es primo, admitirá otro; si éste tampoco lo es, admitirá otro.
Como los divisores son cada vez menores, siguiendo así, llegaremos a un número que no
tendrá más divisor que 1 ó él mismo, el cual será, por tanto, primo y divisor de todos los
demás. Luego:
Todo número no primo admite un divisor primo.
2) Para probar que cualquiera que sea la prolongación dada a la tabla de números primos,
existe siempre otro primo mayor, imaginemos formado el producto P de todos los números
de la tabla y añadámosle 1. Si el número resultante P+1 es primo, el teorema está
demostrado, y si no lo es, admitirá algún divisor primo que no puede ser de la tabla, y será,
por tanto, mayor (pues siendo P un múltiplo de todos los números de la tabla, al dividir P+1
por dichos números, se obtendrá en todos resto 1).
