MATEMATICA - Magnitudes inconmensurables y números irracionales
DEFINICION MAGNITUDES INCONMENSURABLES
Consideremos un cuadrado de lado 1 y cuya diagonal sea d, ¿cuál es la medida de d?
Evidentemente esa medida es mayor que 1 y menor que 2.
Supongamos ahora que la medida de d sea un número racional m/n siendo m y n números
primos entre sí. En virtud del teorema de Pitágoras que afirma
que el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados, se tiene:
(m/n) ² = 1² + 1² = 2
Luego:
m² = 2n²
Por ser m² el producto de un número por 2, debe ser par; por consiguiente, m debe ser par.
Si m es par, es divisible por 2 y m² por 4. Simplificando se tendrá:
m² / 4 = n² / 2
Como el primer miembro es un número entero, el segundo también debe serlo y por lo tanto
n² debe ser divisible por 2, por lo cual n debe ser par. Pero hemos partido del supuesto de
que m y n eran primos entre sí y acabamos de demostrar que m y n son pares. Por
consiguiente, hay en esto un absurdo, que proviene de haber supuesto que la medida de la
diagonal es un número racional. Así queda contestada al mismo tiempo la pregunta hecha
anteriormente y podemos afirmar que no siempre es posible expresar mediante un número
racional m/n la medida entre dos magnitudes.
En tales casos se dice que las magnitudes son inconmensurables entre sí: la diagonal de un
cuadrado es inconmensurable con el lado.
Si bien la técnica no necesita otros números que los enteros y fraccionarios, la Matemática
exacta, cuyas magnitudes tienen exactitud indefinida y están libres de discontinuidad
molecular, necesita considerar el caso en que las magnitudes son inconmensurables.
El descubrimiento de la irracionalidad de la diagonal del cuadrado, debido a los pitagóricos,
fue la ruina de su sistema filosófico, que suponía las figuras formadas por número finito de
puntos, como la materia está formada de átomos. Por eso lo mantuvieron oculto. También
fueron eficaces en contra de esa doctrina pitagórica los argumentos de Zenón de Elea, que
no tendían, como suele decirse, a probar la imposibilidad del movimiento, sino a mostrar su
incompatibilidad con la concepción atomista del espacio y del tiempo que poseían los
pitagóricos.
