MATEMATICA - Funciones y ecuaciones de segundo grado
EL PROBLEMA DE LAS LUCES
Sobre la recta que une dos focos luminosos de intensidades conocidas a y b, y separados una
distancia d, determinar el punto en que una pantalla queda iluminada igualmente por
ambos.
Sean, por ejemplo, los focos M y N separados una distancia d, y cuyas respectivas
intensidades son a y b. Tenemos que determinar la distancia x de uno de ellos, el M, por
ejemplo, a una pantalla P, de modo que ésta quede igualmente iluminada por ambos.
Se conoce un principio físico, que dice que la intensidad de la luz de un foco luminoso es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Es decir: si la intensidad luminosa de un foco es a, tomada a la unidad de distancia, una
pantalla colocada a 2 unidades de dicho foco estará iluminada con una intensidad, no 2
veces menor, sino 2² veces menor, y si está colocada a una distancia de x unidades, recibirá
la luz con una intensidad x² veces menor.
Por lo tanto, la intensidad del foco M en el
punto P, o sea a la distancia x, es a/x²; y la
intensidad de N en el punto P, o sea, a la distancia d—x es b/(d—x)². Como el problema
establece que ambas intensidades deben ser iguales, planteamos la siguiente ecuación:
a/x² = b/(d—x)²
Que preparada, es:
(a — b) x² — 2adx + ad² = 0
1º caso: (a = b) La ecuación es de 1º grado y resulta x = d/2, como era de esperar.
2º caso: (a > b) Se despejará x por la regla general.
