MATEMATICA – Rectas y planos
PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO
Las patas de un trípode siempre se pueden apoyar sobre un plano; en cambio puede ocurrir
que las cuatro patas de una mesa "bailen" y no se puedan apoyar sobre el piso. ¿Por qué?
Porque tres puntos (no alineados) están siempre sobre un plano, o en otros términos, tres
puntos no alineados determinan un solo plano. Dos puntos no son suficientes: piénsese que
si una puerta está unida al marco por dos puntos, puede girar alrededor del eje determinado
por esos dos puntos. Si se sujeta con un tercer punto fuera del eje mediante un pestillo, la
puerta queda inmóvil.
Es importante la restricción de que los puntos no estén alineados. Todas las charnelas que se
coloquen alineadamente en una puerta no le impiden girar; hace falta un punto fuera de esa
recta para fijarla. Cada una de las posiciones que toma la puerta al girar corresponde a un
plano distinto, y por consiguiente podremos decir:
Por una recta pasan infinitos planos.
Una recta y un punto exterior determinan un plano.
Los albañiles para construir un embaldosado colocan en dos bordes del patio sendas reglas
fijas y luego controlan la exactitud de la construcción haciendo deslizar una regla móvil
sobre las dos reglas fijas, puesto que:
Dos rectas que se cortan determinan un solo plano.
Si las rectas son paralelas, por definición deben ser coplanares, es decir, estar en el mismo
plano. En consecuencia podremos decir:
Dos rectas que se cortan o son paralelas determinan un único plano.
Pero no siempre en el espacio dos rectas o se cortan o son paralelas como ocurría en
geometría plana; puede ocurrir que dos rectas ni se corten ni sean paralelas, sino que se
crucen y se denominan rectas alabeadas.
Pero tratándose de planos sólo caben dos posibilidades: o son paralelos (no tienen ningún
punto común) o se cortan (y tienen una recta común).
Si una recta tiene dos de sus puntos en un plano, está íntegramente contenida en el plano
(recta del plano), pero puede tener un solo punto en común con el plano (recta incidente) o
ninguno (recta paralela al plano).
Si en una habitación común observamos una de sus aristas laterales en relación con el piso,
comprobaremos que trazada cualquier recta en el piso resulta perpendicular a la arista; se
dice entonces que la recta de la arista y el plano del piso son perpendiculares. En general se
llama plano perpendicular a una recta en uno de sus puntos al plano formado por todas las
perpendiculares a la recta en ese punto. Se demuestra que es suficiente con que la recta sea
perpendicular sólo a dos de las rectas del plano, para que sea perpendicular a todas.
Si desde un punto M trazamos la perpendicular a un plano a y P es el punto de intersección,
el segmento MP se llama
distancia del punto al plano. También se dice que P es la
proyección ortogonal de M sobre a.
