MATEMATICA - Cálculo diferencial elemental
TANGENTE A UNA CURVA Y DERIVADA DE UNA FUNCION
Existen reglas muy diversas para la construcción de las tangentes a las curvas:
Circunferencia: recta perpendicular al radio.
Elipse: bisectriz exterior de los radios vectores.
Hipérbola: bisectriz interior.
Parábola: bisectriz interior del ángulo formado por el radio vector y la distancia a la directriz.
Pero, ¿no habrá un método general para todas las curvas? Apelemos a su representación
analítica: y = f(x), y consideremos la cuerda que une el punto fijo A con un punto variable A',
cuya abscisa sea x más un pequeño incremento que escribiremos ?x (se lee incremento de x).
Por ejemplo, si la abscisa de A es x = 2 y damos a ?x valores 0,1; 0,01; 0,001 ... la abscisa de
A' será 2,1; 2,01; 2,001; ...
Al incrementar x, la y recibe un incremento (expresado por el segmento BA'), que se escribe
?y (y se lee incremento de y). La pendiente de la cuerda o sea la tangente trigonométrica del
ángulo A'ABA es el cociente de incrementos o sea ?y/?x.
Si acercamos A' a A, es decir si ?x va disminuyendo, la cuerda AA' que gira alrededor de A
tiende hacia la tangente y su pendiente ?y/?x se aproxima a la pendiente de esa tangente
que llamaremos y'.
La aproximación indefinida de una variable a un número fijo se expresa diciendo que este
número es el límite de aquella variable. Usando este tecnicismo podemos decir:
La cuerda tiene como limite la tangente:
Su pendiente ?y/?x tiene como limite la pendiente y' de la tangente, es decir:
Pendiente de la tangente = y' = lim ?y/?x
Luego si mediante un cálculo logramos determinar este límite tendremos la pendiente de la
tangente. Esto es fácil para las funciones usuales.
