MATEMATICA - Cálculo diferencial elemental
DERIVADAS DE LAS POTENCIAS
Sea por ejemplo y = x², y desarrollemos todo el cálculo necesario llamando ?x = h.
f(x) = x²
?y = (x . h)² - x² = 2xh + h²
?y/h = 2x + h
Salta a la vista que al hacerse cada vez menor h, este cociente tiene como límite 2x, luego:
y' = 2x
El límite del cociente del incremento de la función por el incremento de la variable se llama
derivada de la función. Podemos, pues, enunciar el resultado anterior así: La derivada de x²
es 2x.
Puede hacerse el mismo cálculo para el cubo x³ y obtendrá como derivada 3 x². En general la
derivada de x? es n x?- ¹.
La derivada de una potencia se deduce multiplicando por el exponente la base elevada al
exponente disminuido en 1.
Ya estamos en posesión del primer teorema del Cálculo diferencial y vamos a aplicarlo a la
parábola de segundo grado y a la de tercer grado.
Puesto que la pendiente de la tangente es 2x en el primer caso, el cateto vertical señalado en
el dibujo debe valer 2x² (recuérdese que la tangente trigonométrica del ángulo AQP = a es
PA/PQ), o sea 2y; como OP es y, basta tomar OQ = y = OP y AQ es la tangente. En el
segundo caso resulta análogamente OQ = 2OP. Entonces Q se determina de acuerdo a esta
igualdad y AQ resulta la tangente a la parábola cúbica.
Sin más instrumento que una hoja de papel para transportar segmentos, hemos logrado
construir la tangente a las dos parábolas y análogamente a cualquier otra y = x?.
