MATEMATICA - Geometría no euclidiana elemental
PROPIEDADES NO EUCLIDIANAS
Conformémonos con enunciar, en el recuadro, algunos resultados:
GEOMETRIA HIPERBOLICA
(Gauss, Lobatschevski, Bolyai)
1) Toda recta divide al plano y tiene longitud infinita.
2) Por cada punto exterior a una recta pasan infinitas no-secantes, separadas de las secantes
por dos rectas llamadas paralelas.
3) La suma de los ángulos de todo triángulo es menor que dos rectos; la diferencia se llama
defecto angular.
GEOMETRIA ELIPTICA Y ESFERICA
(Riemann)
1) Ninguna recta divide al plano; todas tienen longitud finita.
2) Dos rectas cualesquiera del plano se cortan; todas las rectas que pasan por un punto
exterior a una recta las cortan. No hay paralelas.
3) La suma de los ángulos de todo triángulo es mayor que dos rectos; la diferencia se llama
exceso angular.
Como consecuencia, la suma de los ángulos de un cuadrilátero es menor que cuatro rectos
en la primera y mayor que cuatro rectos en la segunda. Si se construye un cuadrilátero con
tres ángulos rectos, el cuarto es agudo en la primera, obtuso en la segunda.
A modo de ejemplo vamos a demostrar un resultado muy importante: consideremos un
triángulo ABC suma de dos: ABD y ADC.
Exceso ABD = a' + ß + d' — 2R
Exceso ADC = a" + ß + d" — 2R
Suma = a + ß + ? — 2R
Puesto que:
d' + d" = 2R
a' + a" = a
Por tanto: El exceso del triángulo suma es la suma de los excesos. Lo mismo vale para el
defecto en la Geometría hiperbólica y ambas propiedades aditivas valen por tanto para
cualquier número de sumandos.
El área tiene esta misma propiedad aditiva y habiendo correspondencia en la igualdad y la
suma, son proporcionales. Es decir:
El (exceso / defecto) angular de un triángulo es proporcional a su área.
La teoría de áreas es, pues, más sencilla que en la Geometría euclidiana, pues basta medir los
ángulos. Así acontece en la Geometría de la esfera: si se adopta el triángulo trirrectángulo
como unidad de área (exceso = R) y se miden los excesos en ángulos rectos, el número que
da el exceso es el número que da el área.
En las geometrías no euclidianas no existen figuras semejantes, es decir con ángulos iguales
pero con tamaños distintos. Así, se observa en la esfera que no hay triángulos trirrectángulos
pequeños; todos son iguales.
La Geometría hiperbólica puede realizarse dentro del espacio euclidiano sobre la superficie
llamada seudoesfera, de igual modo que la Geometría elíptica se realiza en el plano
proyectivo y la esférica en la superficie esférica.
Las rectas sobre esa seudoesfera son los lados tirantes o bien, con lenguaje técnico, las líneas
geodésicas. De este modo, aunque parezca paradójico, la consistencia lógica de la Geometría
hiperbólica, esto es la verdad de la Geometría no euclidiana, se demuestra apoyándose en la
verdad de la euclidiana; donde la "verdad" significa en ambos casos "ausencia de
contradicción".
