MATEMATICA - Geometría no euclidiana elemental
UNA HIPOTETICA GEOMETRÍA EMPIRICA
Si la Tierra hubiera estado siempre cubierta de niebla, no se habría podido definir la línea
recta mediante los rayos luminosos y deberíamos conformarnos con el hilo tenso.
Suponiendo el suelo bien liso, sobre él podríamos construir una geometría plana: dos puntos
determinan una recta, un segmento se puede transportar, multiplicar y dividir en partes
iguales, etc., etc. Es decir, habríamos descubierto empíricamente las propiedades primeras
de Euclides y de ellas deduciríamos las demás. ¿Qué partido tomar al abordar el problema
del paralelismo? La solución más sencilla es suponer que por cada punto exterior a una recta
pasa una sola no secante o sea una paralela a ésta; corolario: suma de ángulos de cualquier
triángulo igual a dos rectos. Ahora bien, dentro de nuestra hipótesis de lisura perfecta de la
superficie, también cabría construir triángulos suficientemente grandes, para que se notara
de este modo el error de tal conclusión.
Si para fijar las ideas suponemos a nuestros hipotéticos sabios en el polo (lugar
especialmente adecuado para hacer Geometría sobre el suelo helado) y que allí trazan dos
rectas perpendiculares que prolongan más y más hasta llegar al ecuador, completando con
éste el triángulo, al medir los ángulos verían con asombro que los tres son rectos, es decir los
tres ángulos del triángulo suman tres rectos. En triángulos grandes, aunque no tan enormes,
el error sería mucho más pequeño que ese tremendo de 50%, pero quizá perceptible con
instrumentos adecuados; y como consecuencia de este experimento, la Geometría euclidiana
sería borrada de los programas escolares y en su lugar se impondría una Geometría no
euclidiana que diría entre otras muchas verdades:
1) Dos rectas siempre se cortan.
2) No hay paralelas.
3) La suma de los ángulos de todo triángulo supera a dos rectos y el exceso angular crece
con el área; en los triángulos pequeños la suma vale sensiblemente dos rectos.
4) La longitud de la circunferencia de radio r es 2 p r, donde k vale 3,1415... si la
circunferencia es muy pequeña, pero disminuye hasta valer 2 (en el caso de radio igual a un
cuadrante, como lo tiene el ecuador), etc.
¿Estaremos nosotros en situación análoga? ¿Será esférico nuestro espacio tridimensional
formado por los rayos luminosos que llamamos rectas? Esto puede interpretarse de dos
modos: a) ese espacio es curvo dentro de un hiperespacio recto de más dimensiones, o
simplemente, b) en él no vale la Geometría euclidiana y en cambio se verifican las
propiedades 1, 2, 3, 4, ... que acabamos de enumerar.
Gauss realizó ese experimento midiendo cuidadosamente grandes triángulos terrestres, pero
eran demasiado exiguos para acusar diferencias; tampoco los triángulos de base terrestre
con visuales a los astros dieron resultado positivo y la conclusión fue ésta: si el Universo no
es euclidiano, su curvatura es imperceptible en la pequeña región que no es accesible; de
igual modo que la Geometría de los esquimales sería sensiblemente euclidiana dentro del
círculo polar. La moderna teoría de la Relatividad ha venido a valorar esta hipótesis sobre el
espacio físico, el cual sería ilimitado (esto es sin frontera) pero finito en su dimensión.
Otros creadores de la Geometría no euclidiana no se preocuparon, como Gauss, de su
verdad física sino sólo de su verdad lógica, y así construyeron la geometría que hoy
llamamos hiperbólica, menos revolucionaria que la enunciada en párrafos anteriores,
llamada esférica (en la cual no subsiste el postulado de que dos puntos determinan una recta)
o de su hermana la Geometría elíptica, en la que vale este postulado: pero una recta no
divide al plano.
